HOMEWORK'S YAYAN: 2016

Konsep Peluang Kejadian Bersyarat

Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B.

Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi terlebih dahulu ditulis

P (A | B)

\begin{aligned} P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}, \end{aligned}

dengan

P (B) \neq 0

Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi terlebih dahulu ditulis

P (B | A)

\begin{aligned} P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}, \end{aligned}

dengan

P (A) \neq 0

dengan

P (A \cap B) =

peluang irisan A dan B.

Contoh Soal Peluang Kejadian Bersyarat :
1). Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu.
Penyelesaian :
*). Misal A adalah kejadian munculnya angka prima,
Ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6}, sehingga

n (S) = 6

A = {2,3,5}, sehingga

n (A) = 3

.
Peluang kejadian A :

\begin{aligned} P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{aligned}

*). Misal B adalah kejadian muncul mata dadu ganjil,
B = {1,3,5} , sehingga irisannya :

A \cap B

= {3,5} , dengan

n (A \cap B) = 2

.
Peluang irisannya :

\begin{aligned} P (A \cap B) = \frac{n (A \cap B)}{n (S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{aligned}

*). Menentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu :

P (B | A)

\begin{aligned} P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \end{aligned}

Jadi, peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu adalah

\frac{2}{3}

.

Catatan :
*). Kejadian A terjadi lebih dahulu, sehingga A = {2,3,5} adalah sebagai ruang sampel dari kejadian B.
*). Kejadian B : B = {3,5} , sehingga peluang kejadian B adalah

\frac{2}{3}

.

2). Sebuah kotak berisi bola merah dan bola putih, dan setiap bola diberi tanda X atau tanda Y. Berikut komposisi bola-bola yang ada dalam kotak :

Dipilih satu bola secara acak dari kotak tersebut. Tentukan peluang dari kejadian terambil bola hitam bertanda X.
Penyelesaian :
*). Kejadian ini bisa kita pandang sebagai peluang kejadian munculnya bola hitam ( kejadian B) dengan syarat bola bertanda X (kejadian X) lebih dahulu.
*). Terdapat 8 bola bertanda X dari total 11 bola,
sehingga peluangnya

P (X) = \frac{8}{11}

.
*). Dari 8 bola bertanda X terdapat 5 warna hitam, artinya

n (B \cap X) = 5

.
sehingga peluangnya

P (B \cap X) = \frac{5}{11}

.
*). Peluang warna hitam (B) dengan syarat bertanda X :

P (B | X)

\begin{aligned} P (B | X) = \frac{P (B \cap X)}{P (X)} = \frac{\frac{5}{11}}{\frac{8}{11}} = \frac{5}{8} \end{aligned}

Jadi, peluang dari kejadian terambil bola hitam bertanda X adalah

\frac{5}{8}

Menentukan peluang irisan dari peluang kejadian bersyarat

Peluang kejadian A dan B dengan kejadian B terjadi lebih dahulu :

P (A \cap B)

\begin{aligned} P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} \to P (A \cap B) = P (B) \times P (A | B) \end{aligned}

Peluang kejadian A dan B dengan kejadian A terjadi lebih dahulu :

P (A \cap B)

\begin{aligned} P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} \to P (A \cap B) = P (A) \times P (B | A) \end{aligned}

Contoh soal :
3). Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang yang terambil
a). kedua-duanya bola merah,
b). bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih.
Penyelesaian :
a). kedua-duanya bola merah,
*). Misal A kejadian bola pertama merah,
Peluang A :

P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

.
*). B kejadian bola kedua warna merah.
karena bola tidak dikembalikan, maka bola merah tinggal 5 bola merah dan 4 bola putih.
Sehingga peluang B dengan kejadian A sudah terjadi :

P (B | A)

P (B | A) = \frac{5}{9}

*). Peluang bola pertama merah dan kedua merah :

P (A \cap B)

\begin{aligned} P (A \cap B) = P (A) \times P (B | A) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{1}{3} \end{aligned}

Jadi, peluang keduanya merah adalah

\frac{1}{3}

b). bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih
*). Misal A kejadian bola pertama merah,
Peluang A :

P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

.
*). B kejadian bola kedua warna putih.
karena bola tidak dikembalikan, maka bola merah tinggal 5 bola merah dan 4 bola putih.
Sehingga peluang B dengan kejadian A sudah terjadi :

P (B | A)

P (B | A) = \frac{4}{9}

*). Peluang bola pertama merah dan kedua putih :

P (A \cap B)

\begin{aligned} P (A \cap B) = P (A) \times P (B | A) = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{15} \end{aligned}

Jadi, peluang bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih adalah

\frac{4}{15}

4). Dalam supermarket terdapat 12 ibu-ibu dan 4 orang remaja yang sedang berbelanja. Kemudian dari mereka dipilih secara acak 3 orang untuk mendapatkan 3 undian berhadiah, dan setiap orang hanya berhak memperoleh 1 hadiah. Tentukan peluang dari kejadian :
a). ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
b). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja.
c). terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu.

Penyelesaian :
*). Misalkan I adalah kejadian ibu-ibu memenangkan undian dan R adalah kejadian remaja memenangkan undian.

a). ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
ada 12 ibu-ibuu dan 4 remaja, sehingga

n (S) = 16

.
*). Peluang ibu-ibu memenangkan undian pertama :

P (I_{1}) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}

.
*). 1 ibu sudah menang, maka tersisa 11 ibu-ibu dan 4 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian kedua :

P (I_{2} | I_{1}) = \frac{11}{15}

.
*). 2 ibu sudah menang, maka tersisa 10 ibu-ibu dan 4 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian ketiga :

P (I_{3} | I_{1}, I_{2}) = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}

.
*). Peluang ketiganya dimenangkan oleh ibu-ibu :

P (I_{1} \cap I_{2} \cap I_{3})

\begin{aligned} P (I_{1} \cap I_{2} \cap I_{3}) & = P (I_{1}) \times P (I_{2} | I_{1}) \times P (I_{3} | I_{1}, I_{2}) \\ = \frac{3}{4} \times \frac{11}{15} \times \frac{5}{7} \\ = \frac{11}{28} \end{aligned}

Jadi, peluang ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu adalah

\frac{11}{28}

.

b). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja.
ada 12 ibu-ibuu dan 4 remaja, sehingga

n (S) = 16

.
*). Peluang remaja memenangkan undian pertama :

P (R_{1}) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

.
*). 1 remaja sudah menang, maka tersisa 12 ibu-ibu dan 3 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian kedua :

P (I | R_{1}) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}

.
*). 1 ibu sudah menang dan 1 remaja, maka tersisa 11 ibu-ibu dan 3 remaja, sehingga
Peluang remaja memenangkan undian ketiga :

P (R_{2} | R_{1}, I) = \frac{3}{14}

.
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja :

P (R_{1} \cap I \cap R_{2})

\begin{aligned} P (R_{1} \cap I \cap R_{2}) & = P (R_{1}) \times P (I | R_{1}) \times P (R_{2} | R_{1}, I) \\ = \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{14} \\ = \frac{3}{70} \end{aligned}

Jadi, peluangnya adalah

\frac{3}{70}

.

c). terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
Terdapat tiga kemungkinan dan cara menghitungnya mirip dengan cara bagian (b) sebelumnya.
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja,

\begin{aligned} P (R_{1} \cap I \cap R_{2}) & = P (R_{1}) \times P (I | R_{1}) \times P (R_{2} | R_{1}, I) \\ = \frac{3}{70} = 0, 0428 \end{aligned}

*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh remaja, dan undian ketiga dimenangkan ibu-ibu,

\begin{aligned} P (R_{1} \cap R_{2} \cap I) & = P (R_{1}) \times P (R_{2} | R_{1}) \times P (I | R_{1}, R_{2}) \\ = \frac{4}{16} \times \frac{3}{15} \times \frac{12}{14} \\ = 0, 0428 \end{aligned}

*). undian pertama dimenangkan ibu-ibu, undian kedua dimenangkan oleh remaja, dan undian ketiga dimenangkan remaja,

\begin{aligned} P (I \cap R_{1} \cap R_{2}) & = P (I) \times P (R_{1} | I) \times P (R_{2} | I, R_{1}) \\ = \frac{12}{16} \times \frac{4}{15} \times \frac{3}{14} \\ = 0, 0428 \end{aligned}

Jadi, peluang terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu adalah

0, 0428 + 0, 0428 + 0, 0428 = 0, 1284

HOMEWORK'S YAYAN

Sabtu, 17 September 2016

PELUANG KEJADIAN MAJEMUK bagian 2

Konsep Peluang Kejadian Bersyarat