HOMEWORK'S YAYAN: STATISTIKA

Statistika

1. Penyajian data

Penyajian Data merupakan salah satu materi bagian dari Statistika. Untuk penyajian data, data kita bagi menjadi dua bagian yaitu data tunggal dan data berkelompok.

Penyajian Data Tunggal

Data tunggal dapat disajikan dalam bentuk : Tabel, diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, diagram batang daun, dan diagram kotak garis.

Berikut penjelasan masing-masing penyajian data tunggal.
a). Tabel
Penyajian data tunggal dalam bentuk tabel dinamakan tabel distribusi frekuensi tunggal. Di sini langsung melibatkan frekuensinya masing-masing.
Contoh :
Berikut adalah data ulangan harian matematika dari 30 siswa kelas XI.
7, 8, 6, 8, 7, 7,
6, 6, 6, 7, 7, 7,
7, 7, 8, 6, 6, 6,
7, 7, 5, 5, 7, 7,
6, 6, 8, 8, 5, 6
Dari kumpulan dita di atas, susunlah dalam bentuk tabel!.
Penyelesaian :
Dari data di atas, terdapat beberapa nilai yang sama.
*). nilai amatan 5 muncul sebanyak 3 sehingga frekuensinya

f = 3

*). nilai amatan 6 muncul sebanyak 10 sehingga frekuensinya

f = 10

*). nilai amatan 7 muncul sebanyak 12 sehingga frekuensinya

f = 12

*). nilai amatan 8 muncul sebanyak 5 sehingga frekuensinya

f = 5

Tabel distribusi frekuensi tunggalnya,

Tally(Turus) menyatakan tanda yang menunjukkan banyakknya data.

b). Diagram Batang
Diagram batang adalah diagram penyajian data dalam bentuk batang atau kotak yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius. Ada dua jenis diagram batang, yaitu diagram batang vertikal dan diagram batang horizontal.
Contoh :
Jumlah lulusan SMA X di suatu daerah dari tahun 2001 sampai tahun 2004 adalah sebagai berikut.

Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang.
Penyelesaian :
Data tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut.

c). Diagram Garis
Diagram garis adalah diagram penyajian data dalam bentuk garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan keadaan yang berkesinambungan.
Contoh :
Dalam enam bulan pertama tahun 2007, pemakaian daya listrik dari koperasi ABC seperti tertuang pada tabel berikut.

Sajikan data diatas ke dalam diagram garis dan kemudian tafsirkan.!
Penyelesaian :

Dari diagram garis di atas dapat dibaca dan ditafsirkan, misalkan :
*). Pada bulan Januari - Februari pemakaian listrik bertambah dengan kemiringan garisnya positif.
*). Pada bulan Februari - Maret pemakaian listrik menurun dengan kemiringan garisnya negatif.
*). Dari bulan Maret - Juni pemakaian listrik semakin meningkat dengan kemiringan garisnya positif untuk setiap bulannya, meskipun kemiringannya ini masih lebih kecil dibandingkan dengan periode bulan Januari - Februari.

d). Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah diagram penyajian data dalam bentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.
Cara menentukan besar sudut dan persentase datanya,

♣

Besar persentase :
Persentase nilai A =

\begin{aligned} \frac{banyak A}{jumlah seluruh data} \times 100 % \end{aligned}

♣

Besar Sudut :
Sudut nilai A =

\begin{aligned} \frac{banyak A}{jumlah seluruh data} \times 360^{\circ} \end{aligned}

Untuk memudahkan mengingat, pada lingkaran berlaku perbandingan :

\begin{aligned} \frac{banyak nilai A}{jumlah seluruh data} = \frac{Sudut A}{360^{\circ}} = \frac{Persen A}{100 %} \end{aligned}

Contoh :
Tabel berikut menunjukkan banyaknya siswa di suatu kabupaten menurut tingkat sekolah pada tahun 2007.

Sajikan data di atas dalam diagram lingkaran dan tentukan besar persentasenya masing-masing!
Penyelesaian :
Jumlah seluruh siswa adalah 1.000 orang. Seluruh siswa diklasifikasikan menjadi 5 katagori: SD = 175 orang, SMP = 600 orang, dan SMA = 225 orang.
*). Menentukan besarnya persentase masing-masing :
siswa SD =

\frac{175}{1000} \times 100 % = 17, 5 %

siswa SMP =

\frac{600}{1000} \times 100 % = 60 %

siswa SMA =

\frac{225}{1000} \times 100 % = 22, 5 %

*). Menentukan besarnya sudut masing-masing :
siswa SD =

\frac{175}{1000} \times 360^{\circ} = 63^{\circ}

siswa SMP =

\frac{600}{1000} \times 360^{\circ} = 216^{\circ}

siswa SMP =

\frac{225}{1000} \times 360^{\circ} = 81^{\circ}

Berikut diagram lingkarannya :

e). Diagram Batang Daun
Dalam diagram batang daun, data yang terkumpul diurutkan terlebih dulu dari data ukuran terkecil sampai dengan ukuran yang terbesar. Diagram batang daun terdiri dari dua bagian yaitu batang dan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan. Dari pengertian ini, berarti diagram batang daun cocok digunakan untuk data yang besarnya sampai puluhan saja.
Contoh :
Buatlah diagaram batang daun dari data berikut.
45, 10, 20, 31, 48, 20, 29, 27, 11, 8,
25, 21, 42, 24, 22, 36, 33, 22, 23, 13,
34, 29, 25, 39, 32, 38, 50, 5
Penyelesaian :
Diagram batang daunnya adalah

Dari diagram batang daun di atas dapat dibaca sebagai berikut :
*). Ukuran terkecil (nilai terkecil) adalah 5,
*). Ukuran terbesar adalah 50,
*). Ukuran ke-1 sampai ke-9 adalah 5, 8, 10, 11, 20, 20, 21, 22, 22.
*). Ukuran ke-16 (nilai ke-16) adalah 29.

f). Diagram Kotak Garis
Data statistik yang dipakai untuk menggambarkan diagram kotak garis adalah statistik lima serangkai, yang terdiri dari data ekstrim (data terkecil dan data terbesar) dan kuartil (

Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}

).
Contoh :
Diketahui data sebagai berikut:
41, 52, 66, 86, 91, 65, 86, 88, 41, 62, 42, 59, 72, 99, 53,
69, 87, 93, 64, 44, 64, 42, 92, 54, 78, 86, 92, 100, 79, 47
Buatlah statistik lima serangkai dan diagram kotak garisnya!
Penyelesaian :
*). Data diurutkan terlebih dahulu,
41, 41, 42, 42, 44, 47, 52, 53, 54, 59, 62, 64, 64, 65, 66, 69,
72, 78, 79, 86, 86, 86, 87, 88, 91, 92, 92, 93, 99, 100
*). Menentukan unsur-unsur statistik lima serangkai,

x_{min} = 41

(nilai terkecil)

x_{max} = 100

(nilai tertinggi)

Q_{1} = 53

(nilai kuartil bawah)

Q_{2} = 67, 5

(nilai kuartil tengah atau median)

Q_{3} = 87

(nilai kuartil atas)
*). Statistik lima serangkainya :

*). Diagram kotak garis

Penyajian Data Berkelompok

Data tunggal dapat diolah menjadi bentuk-bentuk interval tertentu, data tersebut disebut data berkelompok. Data berkelompok dapat disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berkelompok, histogram, poligon, dan ogif(ogive).

i). Tabel Distribusi Frekuensi berkelompok
Data yang berukuran besar (

n > 30

) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu.
Langkah-langkah menyusun Tabel Distribusi Frekuensi berkelompok
1). Tentukan jangkauannya (J), J = nilai terbesar - nilai terkecil.
2). Menentukan banyak interval (K) dengan rumus "Sturgess" yaitu:

K = 1 + 3, 3 \log n

dengan

n

adalah banyak data.
Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan terbaik.
3). Menentukan panjang interval kelas (I) dengan menggunakan rumus:

I = \frac{J}{K}

4). Menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir.
5). Memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus atau frekuensi.

Contoh :
Seorang peneliti mengadakan penelitian tentang berat badan dari 35 orang.
Data hasil penelitian itu (dalam kg) diberikan berikut ini:
48 32 46 27 43 46 25 41 40 58 16 36
21 42 47 55 60 58 46 44 63 66 28 56
50 21 56 55 25 74 43 37 51 53 39
Sajikan data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi.!
Penyelesaian :
Langkah-langkah menyusun tabel distribusi frekuensi
1). Jangkauan (J) =

X_{max} - X_{min} = 74 - 16 = 58.

2). Banyak kelas (K)

= 1 + 3, 3 \log n = 1 + 3, 3 \log 35 = 6, 095

. Banyak kelas dibulatkan menjadi "6".
3). Panjang interval kelas (I) adalah

I = \frac{J}{K} = \frac{58}{6} = 9, 67

.
Panjang interval kelas dibulatkan menjadi "10" (selalu bulatkan ke atas). Dengan panjang interval kelas = 10 dan banyak kelas = 6, diperoleh tabel distribusi frekuensi berikut.

Dari tabel diperoleh beberapa informasi :
*). Banyak kelas (K) ada enam kelas yaitu 16 - 25, 26 - 35, 36 - 45, 46 - 55, 56 - 65, 66 - 75
*). Panjang kelas (I) adalah 10 , misalkan : 16 - 25 memuat nilai 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, dan 25 yaitu mengkover 10 nilai (datum).
*). Setiap kelas memiliki batas bawah kelas dan batas atas kelas.
Kelas ke-1 : 16 - 25 , batas bawahnya 16 dan batas atasnya 25
Kelas ke-2 : 26 - 35 , batas bawahnya 26 dan batas atasnya 35
Kelas ke-3 : 36 - 45 , batas bawahnya 36 dan batas atasnya 45
Kelas ke-4 : 46 - 55 , batas bawahnya 46 dan batas atasnya 55
Kelas ke-5 : 56 - 65 , batas bawahnya 56 dan batas atasnya 65
Kelas ke-6 : 66 - 75 , batas bawahnya 66 dan batas atasnya 75
*). Setiap kelas memiliki nilai tengah, nilai tengah =

\frac{1}{2}

(batas bawah + batas atas)
Kelas ke-1 : 16 - 25 , nilai tengah

x_{1} = \frac{1}{2} (16 + 25) = 20, 5

Kelas ke-2 : 26 - 35 , nilai tengah

x_{2} = \frac{1}{2} (26 + 35) = 30, 5

Kelas ke-3 : 36 - 45 , nilai tengah

x_{3} = \frac{1}{2} (36 + 45) = 40, 5

Kelas ke-4 : 46 - 55 , nilai tengah

x_{4} = \frac{1}{2} (46 + 55) = 50, 5

Kelas ke-5 : 56 - 65 , nilai tengah

x_{5} = \frac{1}{2} (56 + 65) = 60, 5

Kelas ke-6 : 66 - 75 , nilai tengah

x_{6} = \frac{1}{2} (66 + 75) = 70, 5

*). Setiap kelas memiliki tepi bawah kelas dan tepi atas kelas.

Tepi bawah = batas bawah - 0,5 .
Tepi atas = batas atas + 0,5 .

Kelas ke-1 : 16 - 25 , tepi bawahnya 16 - 0,5 = 15,5 dan tepi atasnya 25 + 0,5 = 25,5
Kelas ke-2 : 26 - 35 , tepi bawahnya 26 - 0,5 = 25,5 dan tepi atasnya 35 + 0,5 = 35,5
Kelas ke-3 : 36 - 45 , tepi bawahnya 36 - 0,5 = 35,5 dan tepi atasnya 45 + 0,5 = 45,5
Kelas ke-4 : 46 - 55 , tepi bawahnya 46 - 0,5 = 45,5 dan tepi atasnya 55 + 0,5 = 55,5
Kelas ke-5 : 56 - 65 , tepi bawahnya 56 - 0,5 = 55,5 dan tepi atasnya 65 + 0,5 = 65,5
Kelas ke-6 : 66 - 75 , tepi bawahnya 66 - 0,5 = 65,5 dan tepi atasnya 75 + 0,5 = 75,5

ii). Histogram
Histogram adalah diagram yang menyajikan data dari tabel distribusi frekuensi dengan bentuk batang dan berimpitan. Sumbu mendatar (sumbu

x

) menyatakan tepi kelas, dan sumbu tegak (sumbu

y

) menyatakan frekuensi. Untuk pembuatan histogram, pada setiap interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas ini digunakan unntuk menentukan titik tengah kelas. Penyajian histogram dapat disajikan berdasarkan tepi-tepi kelas atau berdasarkan nilai tengah.

*). nilai tengah =

\frac{1}{2}

(batas bawah + batas atas)
atau
*). nilai tengah =

\frac{1}{2}

(tepi bawah + tepi atas) .

*). Tepi bawah kelas ke-

k

\frac{1}{2}

[ Nilai tengah kelas ke-

(k - 1)

+ Nilai tengah kelas ke-

k

]
*). Tepi atas kelas ke-

k

\frac{1}{2}

[ Nilai tengah kelas ke-

k

+ Nilai tengah kelas ke-

(k + 1)

]
*). Panjang kelas
= Nilai tengah kelas ke-

(k + 1) -

Nilai tengah kelas ke-

k

Contoh :
Dari tabel angket berikut, buatlah histogramnya.!

Penyelesaian :
Histogram yang disajikan berdasarkan tepi-tepi kelas

iii). Poligon frekuensi
Poligon frekuensi adalah diagram garis yang menghubungkan setiap titik tengah batang bagian atas dari suatu histogram dan batang - batangnya dihapus.
Contoh :
Hasil pengukuran berat badan terhadap 100 siswa SMP X digambarkan dalam distribusi bergolong seperti di bawah ini. Sajikan data tersebut dalam histogram dan poligon frekuensi.

Penyelesaian :
Histogram dan poligon frekuensi dari tabel di atas dapat ditunjukkan sebagai berikut.

Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Frekuensi relatif dari suatu data adalah dengan membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan banyak data dinyatakan dalam persen.

Frekuensi relatif kelas ke-

k

\begin{aligned} \frac{frekuensi kelas ke- k}{Total data} \times 100 % \end{aligned}

Frekuensi kumulatif kelas ke-

k

adalah jumlah frekuensi pada kelas yang dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya.
Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu :
1) frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil terhadap tepi atas kelas).
2) frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil terhadap tepi bawah kelas).

contoh :
Dari tabel distribusi frekuensi berikut,

Tentukan :
a). Frekuensi kumulatif untuk interval 46 - 55 (kelas ke-4),
b). Frekuensi kumulatif lebih dari,
c). Frekuensi kumulatif kurang dari.
Penyelesaian :
a). Frekuensi relatif kelas ke-4
=

\begin{aligned} \frac{frekuensi kelas ke- 4}{Total data} \times 100 % = \frac{10}{35} \times 100 % = 28, 57 % \end{aligned}

.

b). Frekuensi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas)
*). kelas ke-1 : 16 - 25 , tepi atas 25 + 0,5 = 25,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 25,5 adalah 5
*). kelas ke-2 : 26 - 35 , tepi atas 35 + 0,5 = 35,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 35,5 adalah 5 + 3 = 8
*). kelas ke-3 : 36 - 45 , tepi atas 45 + 0,5 = 45,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 45,5 adalah 5 + 3 + 9 = 17
*). kelas ke-4 : 46 - 55 , tepi atas 55 + 0,5 = 55,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 55,5 adalah 5 + 3 + 9 + 10 = 27
*). kelas ke-5 : 56 - 65 , tepi atas 65 + 0,5 = 65,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 65,5 adalah 5 + 3 + 9 + 10 + 6 = 33
*). kelas ke-6 : 66 - 75 , tepi atas 75 + 0,5 = 75,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 75,5 adalah 5 + 3 + 9 + 10 + 6 + 2 = 35

c). Frekuensi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah)
*). kelas ke-1 : 16 - 25 , tepi bawah 16 - 0,5 = 15,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 15,5 adalah 5 + 3 + 9 + 10 + 6 + 2 = 35
*). kelas ke-2 : 26 - 35 , tepi bawah 26 - 0,5 = 25,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 25,5 adalah 3 + 9 + 10 + 6 + 2 = 30
*). kelas ke-3 : 36 - 45 , tepi bawah 36 - 0,5 = 35,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 35,5 adalah 9 + 10 + 6 + 2 = 27
*). kelas ke-4 : 46 - 55 , tepi bawah 46 - 0,5 = 45,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 45,5 adalah 10 + 6 + 2 = 18
*). kelas ke-5 : 56 - 65 , tepi bawah 56 - 0,5 = 55,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 55,5 adalah 6 + 2 = 8
*). kelas ke-6 : 66 - 75 , tepi bawah 66 - 0,5 = 65,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 65,5 adalah 2

iv). Ogif (ogive)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif. Untuk populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang menyerupai kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif.
Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
a. Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
b. Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.

Contoh :
Hasil tes ulangan Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA digambarkan dalam tabel di bawah ini.