GEOMETRI RUANG

Geomerti Ruang

1. Jarak antar titik

Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan dua buah titik yaitu titik A dan titik B. Jarak dari titik A dan titik B dapat dicari dengan cara menghubungkan titik A ke titik B sehingga terjadi sebuah garis. Jarak kedua titik tersebut ditentukan oleh panjang garis itu. Jadi, jarak antara dua titik merupakan panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang jarak titik ke titik pada bangun ruang dimensi tiga, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar kubus PQRS.TUVW di bawah ini.

Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak:

a) titik W ke titik P

b) titik W ke titik X

c) titik W ke titik Q

d) titik T ke titik X

Penyelesaian:

a) titik W ke titik P merupakan panjang garis PW. Garis PW merupakan panjang diagonal sisi kubus, maka dengan menggunakan teorema phytagoras:

PW =√(TW² + PT²)

PW =√(8² + 8²)

PW =√(64 + 64)

PW =√128

PW =8√2

b) titik W ke titik X merupakan panjang garis WX. Panjang PX sama dengan setengah panjang rusuk PQ, maka:

PX  = ½ PQ = ½ 8 cm = 4 cm

Dengan menggunakan teorema phytagoras:

WX =√(PW² + PX²)

WX =√((8√2)² + 4²)

WX =√(128 + 16)

WX =√144

WX =12 cm

c) titik W ke titik Q merupakan panjang garis QW. Garis QW merupakan panjang diagonal ruang kubus, maka dengan menggunakan teorema phytagoras:

QW =√(PW² + PQ²)

QW =√((8√2)² + 8²)

QW =√(128 + 64)

QW =√192

QW =8√3 cm

d) titik T ke titik X merupakan panjang garis TX. Panjang PX sama dengan setengah panjang rusuk PQ, maka:

PX  = ½ PQ = ½ 8 cm = 4 cm

Dengan menggunakan teorema phytagoras:

TX =√(PT² + PX²)

TX =√(8² + 4²)

TX =√(64 + 16)

TX =√80

TX =4√5 cm

2. Jarak titik ke garis

Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas merupakan sebuah titik A dan sebuah garis g. Jarak antara titik A dan garis g dapat dengan membuat garis dari titik A ke garis g, memotong garis di titik P sehingga terjadi garis AP yang tegak lurus garis g. Jarak titik A ke garis g adalah panjang dari AP. Jadi, jarak antara titik dengan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut tegak lurus terhadap garis itu.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang jarak titik ke garis pada bangun ruang dimensi tiga, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar kubus PQRS.TUVW di bawah ini.

Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak:

a) titik X ke garis ST

b) titik X ke garis RT

Penyelesaian:

Perhatikan gambar di bawah ini

a) titik X ke garis ST merupakan panjang garis dari titik X ke titik M (garis MX) yang tegak lurus dengan garis ST, seperti gambar berikut.

ST = PW dan MT = ½ ST = ½ PW = 4√2

Dengan menggunakan teorema phytagoras:

MX =√(TX² – MT²)

MX =√((4√5)² – (4√2)²)

MX =√(80 – 32)

MX =√48

MX =4√3 cm

b) titik X ke garis RT merupakan panjang garis dari titik X ke titik N (garis NX) yang tegak lurus dengan garis RT, seperti gambar berikut.

RT = QW dan NT = ½ RT = ½ QW = 4√3

Dengan menggunakan teorema phytagoras:

NX =√(TX² – NT²)

NX =√((4√5)² – (4√3)²)

NX =√(80 – 48)

NX =√32

NX =4√2 cm

3. Jarak titik ke bidang 

Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan sebuah tiktik A dan bidang α. Jarak titik A ke bidang α dapat dicari dengan menghubungkan titik A secara tegak lurus dengan bidang α. Jadi, jarak suatu titik ke suatu bidang adalah jarak dari titik tersebut ke proyeksinya pada bidang tersebut.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang jarak titik ke bidang pada bangun ruang dimensi tiga, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 3

Perhatikan gambar kubus PQRS.TUVW di bawah ini.

Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak titik X ke bidang RSTU

Penyelesaian:

Perhatikan gambar di bawah ini

titik X ke bidang RSTU merupakan panjang garis dari titik X ke titik Z (garis MX) yang tegak lurus dengan bidang RSTU. XZ = ½ PW =4√2 cm