KAIDAH PENCACAHAN

Kaidah Pencacahan

1. Aturan penjumlahan

      Jika terdapat nperistiwa yang saling lepas,

k1= banyak cara pada peristiwa pertama
k2= banyak cara pada peristiwa kedua
k3= banyak cara pada peristiwa ketiga
dan seterusnya sampai
kn= banyak cara pada peristiwa ke-n
Maka banyak cara untuk n buah peristiwa secara keseluruhan adalah:
k1+k2+k3+...+kn

Catatan :
Aturan penjumlahan biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang "TIDAK SEKALIGUS TERJADI" artinya yang terjadi hanya salah satu saja atau bisa dibilang "PILIHAN" dan biasanya menggunakan kata penghubung "ATAU"

Contoh soal aturan penjumlahan :
6). Di rumahnya Wati terdapat 3 jenis sepeda berbeda, 2 jenis sepeda motor berbeda, dan 2 mobil yang berbeda. Jika Wati ingin berpergian, ada berapa cara Wati menggunakan kendaraan yang ada di rumahnya?
Penyelesaian :
Pada kasus ini, ada tiga pilihan kendaraan yaitu sepeda, sepeda motor, dan mobil. Wati tidak mungkin menggunakan SEKALIGUS ketiga jenis kendaraan tersebut yang artinya Wati harus memilih salah satu jenis kendaraan saja. Sehingga kita bisa menggunakan aturan penjumlahan pada kasus ini.
*). Menentukan banyak cara menggunakan kendaraan
Total cara =3+2+2=7 cara.
Jadi, ada 7 cara pilihan kendaraan yang bisa digunakan oleh Wati.

7). Dari Kota A menuju kota D dapat melalui beberapa jalur pada gambar di bawah ini. Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?

Penyelesaian :
*). Untuk perjalanan dari kota A ke kota D bisa melalui kota B atau kota C.
Beberapa jalur yang bisa ditempuh :
Jalur Pertama : jalurnya A - B - D
A - B ada 4 jalan dan B - D ada 3 jalan,
toal jalur pertama =4×3=12
Jalur Kedua : jalurnya A - C - D
A - C ada 3 jalan dan C - D ada 3 jalan,
toal jalur kedua =3×3=9
*). Keseluruhan jalur yang ditempuh adalah melalui jalur pertama atau jalur kedua sehingga bisa menggunakan aturan penjumlahan.
Total jalur = jalur pertama + jalur kedua = 12+9=21.
Jadi, banyak kemungkinan jalur yang ditempuh dari A ke D ada 21 jalur.

2. Aturan Perkalian

       Jika terdapat nunsur yang tersedia,

k1= banyak cara untuk menyusun unsur pertama
k2= banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun
k3= banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun
dan seterusnya sampai
kn= banyak cara untuk menyusun unsur ke-n setelah objek n−1 unsur sebelumnya tersusun
Maka banyak cara untuk menyusun n unsur yang tersedia adalah:
k1×k2×k3×...×kn

Catatan :
Aturan perkalian biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang semuanya "SEKALIGUS TERJADI" dan biasanya menggunakan kata penghubung "DAN"

Contoh soal penggunaan aturan perkalian :
1). Budi mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat, dan batik. Ia juga memiliki 2 buah celana warna hitam dan putih yang berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan yang berbeda?
Penyelesaian :
*). Cara I : Mendaftarkan semua pasangan dengan diagram
Berikut diagram kemungkinan pasangan baju dan celana.

Dari diagram di atas, banyaknya pasangan baju dan celana yang dapat digunakan oleh Budi sebanyak 6 pasang yaitu (baju putih, celana hitam), (baju putih, celana cokelat), (baju batik, celana hitam), (baju batik, celana cokelat), (baju cokelat, celana hitam), dan (baju cokelat, celana cokelat).

*). Cara II : Menggunakan aturan perkalian.
Pada soal ini kita akan menentukan banyaknya pasangan baju dan celana, artinya setiap pasangan harus memuat baju dan celana sehingga SEKALIGUS kedua-duanya (baju dan celana) harus ada sehingga kita bisa menggunakan aturan perkalian secara langsung.
*). Unsur pertama adalah baju,
ada 3 pilihan baju, sehingga k1=3.
*). Unsur kedua adalah celana,
ada 2 pilihan celana, sehingga k2=2.
*). Total pasangan baju dan celanan :
Total pasangan =k1×k2=3×2=6.
Jadi, banyaknya pasangan baju dan celana ada 6 pasang berbeda.

2). Iwan memiliki 5 jenis baju yang berbeda, 2 jenis celana yang berbeda, 2 topi yang berbeda, 3 dasi yang berbeda, dan 4 pasang sepatu serta kaosnya. Tentukan ada berapa banyak cara Iwan menggunakan seragam sekolah jika semua jenis harus dipakai?
Penyelesaian :
Total seragam yang mungkin terbentuk adalah
5×2×2×3×4=240 pilihan.
Jadi, ada 240 pilihan seragam yang bisa dipakai oleh Iwan.

3). Untuk menuju kota C dari kota A harus melewati kota B. Dari kota A ke kota B melewati 4 jalur dan dari kota B ke kota C ada 3 jalur. Dengan berapa jalur Budi dapat pergi dari kota A ke kota C?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan aturan perkalian karena jalur AB dan BC harus ditempuh semua, artinya ketiga jalur SEKALIGUS dilewati untuk perjalanan dari kota A ke kota C.
Total jalur =4×3=12 jalur.

4). Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?
Penyelesaian :
*). Plat nomor tidak boleh ada angka yang berulang, artinya angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi. Misalkan palat nomor 2113 tidak boleh karena angka 1 berulang. Contoh yang boleh adalah plat nomor 2134, 1234, 1235, dan lainnya.
*). Misalkan kita buat 4 buah kotak kosong yaitu kotak (a), (b), (c) dan (d) sebab nomor kendaraan itu terdiri dari 4 angka.
Berikut cara pengisian masing-masing kotak :
Pilihan angkanya adalah 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka.
i). Kotak (a), dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehingga ada 5 cara.
ii). Kotak (b), dapat diisi dengan 4 pilihan bilangan karena satu bilangan sudah dipakai untuk kotak (a).
iii). Kotak (c), dapat diisi dengan 3 pilihan bilangan karena dua bilangan sudah dipakai untuk kotak (a) dan (b).
iv). Kotak (d), dapat diisi dengan 2 pilihan bilangan karena tiga bilangan sudah dipakai untuk kotak (a), (b), dan (c).
Sehingga gambar lengkap kotaknya adalah :

Banyaknya plat nomor =5×4×3×2=120 plat nomor.
Jadi, banyaknya plat nomor yang bisa dibuat adalah 120 plat nomor.

5). Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?
Penyelesaian :
Soal ini sebenarnya mirip dengan soal nomor (4), hanya saja syaratnya yang dibedakan sedikt.
Plat nomor boleh ada angka yang sama, artinya angka yang sudah dipakai boleh dipakai lagi.
*). Kita buat 4 kota karena plat nomor terdiri dari 4 angka saja.
Pilihan angkarnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka.
Cara pengisian setiap kotak :
i). Kotak I, dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehingga ada 5 cara.
ii). Kotak II, dapat diisi dengan 5 pilihan angka juga karena angka yang sudah dipakai pada kotak I bisa dipakai lagi pada kotak II. Begitu juga dengan kotak III dan kotak IV ada 5 pilihan angka masing-masing.
Banyaknya plat nomor =5×5×5×5=625 plat nomor.
Jadi, banyaknya plat nomor yang bisa dibuat adalah 625 plat nomor.

 3. Permutasi dan Kombinasi

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

       Berikut perbedaan mendasar antara permutasi dan kombinasi yaitu :

*). Permutasi adalah cara penyusunan suatu unsur pada suatu kejadian atau percobaan yang memperhatikan "URUTAN".
Lambang permutasi : Pnk

atau nPk atau P(n,k)
Rumus permutasi : Pnk=n!(n−k)!

*). Kombinasi adalah cara penyusunan suatu unsur pada suatu kejadian atau percobaan yang TIDAK memperhatikan URUTAN.
Lambang kombinasi : Cnk atau nCk atau P(n,k) atau (nk)
Rumus Kombinasi : Cnk=n!(n−k)!.k!

Catatan :
*). Untuk memudahkan dalam mengingat manakah yang memperhatikan URUTAN dan mana yang TIDAK, yaitu diantara kata permUtasi dan kombinasi manakah yang menggunakan huruf "U" (huruf U mewakili kata URUTAN). Ternyata kata permUtasi yang menggunakan huruf U, sehingga permutasilah yang memperhatikan URUTAN.
*). Kombinasi hasilnya lebih sedikit dengan permutasi.

Contoh soal-soal perbedaan permutasi dan kombinasi:
1). Ada 5 orang kemudian akan dipilih 3 orang dari 5 orang tersebut. Tentukan banyak cara pemilihan yang mungkin jika
a). 3 orang tersebut dipilih untuk menjadi pengurus organisasi yaitu ketua, wakil, dan bendahara.
b). 3 orang tersebut dipilih untuk mewakili sebuah tim dalam perlombaan.
Penyelesaian :
*). Ada lima orang, misalkan orang tersebut adalah A, B, C, D, dan E.
*). Akan dipilih 3 orang dari 5 orang tersebut.

a). 3 orang tersebut dipilih untuk menjadi pengurus organisasi yaitu ketua, wakil, dan bendahara.
Kita akan cek, apakah pada kasus (a) ini memperhatikan URUTAN atau TIDAK.
Misalkan 3 orang yang terpilih adalah A, B, dan D.
Susunan kepengurusan dari A, B, dan D yaitu :
susunan I : A menjadi Ketua, B menjadi wakil, dan D menjadi bendahara atau disingkat ABD.
susunan II : B menjadi Ketua, A menjadi wakil, dan D menjadi bendahara atau disingkat BAD.
Susunan I dan susunan II dari kepengurusan dianggap berbeda karena pada susunan I ketuanya A dan susunan II ketuanya B sehingga pasti berbeda, artinya ABD tidak sama dengan BAD (ABD ≠ BAD). Ini artinya URUTAN diperhatikan pada kasus ini, sehingga kita menggunakan PERMUTASI untuk menyelesaikannya.
*). Menentukan banyak cara yang mungkin.
Kita memilih 3 orang dari 5 orang, banyak cara yaitu :
P53=5!(5−3)!=5!2!=5.4.3.2.12.1=60 cara.
Jadi, ada 60 cara pemilihan untuk kasus (a).

b). 3 orang tersebut dipilih untuk mewakili sebuah tim dalam perlombaan.
Kita akan cek, apakah pada kasus (b) ini memperhatikan URUTAN atau TIDAK.
Misalkan 3 orang yang terpilih adalah A, B, dan D.
Maka urutan terpilihnya yaitu : ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA.
Bentuk I : ABD artinya yang terpilih adalah A, B, dan D.
Bentuk II : ADB artinya yang terpilih adalah A, D, dan B.
Karena hanya sebagai sebuah tim, maka bentuk ABD dan ADB sama saja yaitu yang terpilih A,B, dan D sebagai sebuah tim. Ini artinya URUTAN tidak diperhatikan ( ABD sama saja dengan ADB ), sehingga kasus (b) ini adalah kasus KOMBINASI yang tidak memperhatikan urutan.
*). Menentukan banyak cara yang mungkin.
Kita memilih 3 orang dari 5 orang, banyak cara yaitu :
C53=5!(5−3)!3!=5!2!3!=5.4.3!(2.1).3!=10 cara.
Jadi, ada 10 cara pemilihan untuk kasus (b).

2). Misalkan ada 5 warna cat yaitu Merah, Hijau, Putih, Kuning, dan Biru. Jika 2 warna cat akan dicampurkan sehingga terbentuk warna baru, maka tentukan ada berapakah banyak warna baru yang diperoleh?
Penyelesaian :
*). Kita cek, apakah kasus ini memperhatikan URUTAN atau TIDAK.
Misalkan kita campurkan 2 warna yaitu warna Merah dan Putih,
cat warna Merah dicampur dengan cat warna Putih hasilnya akan sama pada pencampuran cat warna Putih dan warna Merah, ini artinya URUTAN pencampuran tidak berpengaruh (URUTAN tidak diperhatikan) sehingga soal ini adalah kasus KOMBINASI.
*). Menentukan banyak warna baru :
Kita memilih 2 warna cat dari 5 warna yang ada, banyak cara yaitu :
C52=5!(5−2)!2!=5!3!2!=5.4.3!3!.(2.1)=10 cara.
Jadi, ada 10 warna baru yang akan kita peroleh setelah mencampurkan dua warna dari 5 warna yang ada.